1) Le World Jump Day :

Comme ce doit être merveilleux de vivre dans un monde où la déresponsabilisation est acquise par l’ignorance. Ce sentiment de culpabilité, qui ronge chacune de mes ambitions depuis que je suis assez lucide pour accepter les conséquences de mon mode de vie, n’a aucune raison d’être puisque nous pouvons régler un siècle d’utilisation effrénée de pétrole en une seconde de saut sur place. C’est complètement ridicule et je crois plutôt que ce sont des gens qui sont près à tout pour vendre des t-shirts et des collants pour le prix modique de 23$. Dans notre société de surconsommation, même l’effet de serre est invoqué comme raison de consommer plus d'objets inutiles. C’est dégueulasse.

Maintenant que le coté idéologique est limpide, je peux passer à la discussion physique du phénomène. Traitons directement la Terre et l’humanité au complet comme un système de N particules, nous sommes tous composés d’atomes ce qui rend la discussion formelle si nous supposons que N très grands. On numérote chacune de nos particules 1, 2, … , N et l’on définit qu’ils ont une masse m₁, m₂, … , m_N. La force totale agissant sur la particule K sera la somme des forces internes exercées sur cette particule par toutes les autres N-1 particules (pensé a la gravité dans notre cas et la force électrostatique) et la somme de toutes les forces externes possibles (comme la force gravitationnelle du Soleil qui n’est pas considéré dans notre système). Prenons la notation que la somme des forces internes sur la particule K est écrite Fⁱ_k et que la somme des forces externes sur la particule K est F^e_k. On peut alors écrire l’équation du mouvement de la particule, grâce à la deuxième loi de Newton :

Cela signifie que nous avons N équations, une pour chaque particule, à résoudre en même temps. De même, chaque équation est une équation vectorielle ce qui signifie que nous avons réellement 3N équations à résoudre, une pour chaque composante spatiale. La solution sera un ensemble de fonction r_k(t) qui donne la position de chaque particule au temps t. Si nous posons que la quantité de mouvement de la particule K est :

On peut maintenant définir des quantités globales de notre système de N particules. La quantité de mouvement total de notre système est donné par la somme sur toute les particules des quantités de mouvement de chaque particule, soit :

De même, on définit la force totale externe comme étant la somme sur toute les particules de la force externe agissant sur chacune d’elle, soit :

Maintenant nous devons traiter les forces internes exercées entre particules de notre système. Nous pouvons premièrement remarquer que la force interne ressentie par une particule est en fait composée de plusieurs forces, chacune exercée par une particule différente. En effet, on peut imaginer que chaque particule de notre système exerce une force gravitationnelle sur les autres, ce qui nous garantie que nous pouvons décomposer la force totale sur une particule en plusieurs forces provenant de chaque particule. On peut ainsi écrire :

Ceci est très intéressant, car cela implique que si nous sommons sur toutes les particules, la force totale interne doit être nulle. En effet, comme pour chaque paire de particules, les forces sont exactement opposées, toutes les forces internes s’annulent dans notre système. Nous avons alors que :

Ce qui implique que nous pouvons écrire, avec notre équation sommée sur toute les particules :

La quantité de mouvement total de notre système ne peut être changé que par une force externe agissant sur toutes les particules. Avec ce résultat, on peut déjà démontrer que le World Jump Day est complètement farfelu. En effet, pour changer la trajectoire de la Terre, il faut changer sa quantité de mouvement. Or, comme nous faisons parties du système de la Terre (on veut que le changement soit applicable a l’humanité aussi, on ne voudrait pas être éjecté de la Terre car notre orbite est différente) l’humanité ne peut qu’appliquer une force interne. Une façon simple de voir que nous appliquons une force interne est que les deux corps de notre système sont en interaction, nous poussons sur la Terre en sautant et elle pousse sur nous. On voit la troisième loi de Newton en action. Or comme on vient de le démontrer cela ne peut pas changer la quantité de mouvement et donc l’orbite de la Terre.

Par contre, il y a une meilleure description si nous poussons notre analyse un peu plus loin, en introduisant le concept de centre de masse. Ce concept est très utile en physique, car il permet de traiter le mouvement d’un système complexe de particules comme étant une seule particule possédant la masse totale du système et située au centre de masse. C’est assez intuitif comme concept et il revient constamment dans les discussions physiques, prenez par exemple la discussion de la rotation de la Terre autour du Soleil, on ne considère pas dans nos calculs le mouvement de chaque atome de la Terre, mais plutôt le mouvement du centre de la Terre (qui correspond au centre de masse). De même, lorsque nous considérons une balle qui tombe d’un toit, on considère la balle comme une particule, le centre de masse, pour calculer sa trajectoire.

Avec notre dérivation ci-dessus, on peut démontrer avec rigueur la validité de l’approche considérant simplement le centre de masse. En effet, on définit tout d’abord que :

On voit tout de suite que la quantité de mouvement peut se réécrire en terme du centre de masse, ce qui donne :

On voit que cette équation à la même forme que l’équation du mouvement d’une particule de masse M sur laquelle agit une force externe F. On a ainsi démontré le théorème important qui stipule que le centre de masse d’un système de particule se déplace comme une particule ponctuelle, dont la masse est la masse totale du système, sous l’influence de la force totale externe agissant sur le système.

Voilà le résultat que nous voulions. Nous pouvons maintenant discuter de façon complète le World Jump Day. Nous pouvons premièrement nous dire que nous pouvons traiter la Terre et l’humanité entière dans le formalisme du centre de masse. On voit alors que ce qui tourne autour du Soleil est le centre de masse de notre système. En effet, la force gravitationnelle du Soleil est une force externe à notre système qui s’exerce sur chacune des particules. Ainsi, selon l’équation précédente on voit que la force externe agit sur le centre de masse. Cela nous montre que pour le calcul de la trajectoire de la Terre et de l’humanité, les détails de la distribution de la masse n’est pas important. Bref, nous pouvons considérer notre système comme étant un point, le centre de masse se déplacant sur une orbite autour du Soleil, comme sur la figure. Il faut dire que mon dessin est vraiment pas l'échelle, le centre de masse serait presque au centre de la Terre et la distance Terre-Soleil est beaucoup plus grande.

L'orbite en rouge est la trajectoire du centre de masse. Nous pouvons voir que l'humanité représentée par le petit "happy face" se regroupe pour sauter. Pendant le saut, l'humanité va changer sa position par rapport au centre de masse. En effet, si on considère que tout le monde saute d'une hauteur moyenne de 1m, cela signifie selon la formule pour le centre de masse que celui doit changer, car il dépend de la position r de l'humanité. Or, comme on l'a vue précédemment, le centre de masse ne peut pas changer car nous exerçons une force interne. En effet, nous avons oublié de considéré le mouvement de la Terre. En sautant nous poussons sur la Terre et elle va s'éloigner elle aussi du centre de masse, mais dans la direction opposée. Nous pouvons voir cela dans la figure suivante et dans les équations qui suivent. Je veux encore préciser que ma figure n’est pas à l’échelle. Nous verrons que le mouvement de la Terre est vraiment petit par rapport au mouvement de l’humanité.Ainsi, le centre de masse du système ne change pas de position. De même, sa trajectoire autour du Soleil est tout à fait la même. On peut voir que l’humanité s’est rapproché du Soleil par son saut et la Terre s’est éloignée.

Ainsi, lorsque l’humanité est au summum de son saut, la Terre s’éloigne du Soleil, comme le World Jump Day l’affirme. Par contre, pouvons quantifier ce déplacement de la Terre par rapport à sa position initiale. C’est très facile grâce à notre théorème sur le centre de masse. En utilisant le fait que le centre de masse doit demeurer constant, nous pouvons évaluer que :

Ce qui signifie que la Terre s’éloigne du Soleil d’une distance inférieure au rayon du noyau d’un atome. Ce n’est pas en sautant que nous allons changer la température de la Terre, c’est assez claire. Surtout que ce déplacement est éphémère. Lorsque l’humanité retombe sur ses pieds, la Terre retombe aussi dans sa position initiale. Bref, l’orbite autour du Soleil ne change pas, car le centre de masse demeure constant. On ne peut pas espérer produire un effet non négligeable sur l’orbite de la Terre en sautant plusieurs fois, car chaque saut ne donne aucune contribution nette. Le World Jump Day est un arnaque.